Гравитация

Я предлагаю моим друзьям Профессору, Инженеру и Бизнесмену ряд потрясающих научных открытий и бизнес-проектов. И вас, уважаемые господа школьники, я приглашаю принять участие в обсуждении моих гениальных замыслов!

Барон Мюнхаузен

Проект 1. Парабола или прямая?

Барон: Друзья мои! Я сделал потрясающее открытие! Оказывается, все тела, брошенные под углом к горизонту, движутся прямолинейно! Я убедился в этом, когда, сидя на ядре, наблюдал за встречным ядром, на которое потом пересел. Клянусь вам, оно двигалось по прямой, а вовсе не по параболе, как утверждают некоторые профессора! Профессор: Барон, но ведь ваш полет наблюдало большое количество людей! Все они говорят в один голос: и вы, и встречное ядро двигались по параболам. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то барон прав! Одно ядро движется относительно другогоравномерно и прямолинейно! Докажем это. Рассмотрим два снаряда, летящие навстречу друг другу. Пусть в некоторый момент времени скорость первого снаряда равна , а второго  (рис. 1.1). Поскольку оба снаряда движутся с постоянным ускорением (силой сопротивления воздуха мы пренебрегаем), то скорости снарядов будут изменяться со временем по следующим законам: Тогда скорость первого снаряда относительна второго будет равна То есть один снаряд в системе отсчета, связанной с другим снарядом, движется равномерно и прямолинейно (именно это и утверждает барон!). На самом деле пренебрегать сопротивлением воздуха в условиях данной задачи, конечно, нельзя! Но если бы все описанные события происходили на Луне, то барон был бы прав на все 100%! Заметим, что прямолинейные траектории движения обоих снарядов реально увидел бы любой наблюдатель, который находился в свободно падающей системе отсчета, то есть в системе отсчета, движущейся с ускорением . В системе отсчета же, связанной с Землей, траектории движения обоих снарядов, конечно, параболы! Так что Профессор совершенно прав! Вопрос же о том, какой «на самом деле» является траектория движения снаряда, не имеет смысла! Правы оба: и Профессор и барон! Дело в том, что траектория — линия, вдоль которой движется тело, зависит от выбора системы отсчета, в которой мы наблюдаем данное движение. Ведь никого не удивляет, что траектория движения чемодана, стоящего на полке в поезде, относительно поезда — точка! А относительно вокзала, от которого отправился поезд, траектория чемодана — кривая, совпадающая с железнодорожным полотном. Точно так же бессмысленно ставить вопрос о том, что вокруг чего вращается: Земля вокруг Солнца или Солнце вокруг Земли. В системе отсчета, в которой неподвижно Солнце, Земля вращается вокруг Солнца, а в системе отсчета, в которой неподвижна Земля, Солнце вращается вокруг Земли. И с точки зрения физики оба эти утверждения правильны! Проект 2. Все дома стоят криво Барон: Друзья мои! Чисто теоретически я сделал великое открытие: все дома на Земле стоят криво! В этом можно легко убедиться с помощью обыкновенного угольника. Более или менее прямо дома могут стоять только на полюсе или на экваторе. Бизнесмен: Странно! Почему же мы не видим этого эффекта? Инженер: Не может быть! Вертикальность стен проверяют при помощи отвеса! Профессор: Да, но, может быть, и отвесы висят не вертикально? Тут барон совершенно прав: дома действительно стоят «криво»! Вертикальность стен проверяют с помощью отвесов, как верно заметил Инженер, но всё дело в том, что сами отвесы висят не вертикально, как верно догадался Профессор. Докажем это. Рассмотрим отвес, подвешенный где-нибудь на широте Москвы (рис. 2.1). На груз отвеса действует сила тяготения , направленная к центру Земли. Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, то груз тоже вращается вместе с Землей с периодом вращения Т = 24 ч и угловой скоростью Центростремительное ускорение направлено при этом к точке O' (см. рис. 2.1). Сила натяжения нити  при этом должна быть такой, чтобы согласно второму закону Ньютона в сумме с силой  сообщить грузу центростремительное ускорение : . Как видим, для этого сила  «вынуждена» отклониться от вертикали по направлению к Северному полюсу, то есть нить должна висеть не «прямо», а «наклонно». «Почему же мы не видим этого отклонения», — спрашивает Бизнесмен. Да потому, что величина вектора  очень мала по сравнению с величиной векторов  и . В самом деле, пусть груз отвеса имеет массу 1 кг, а широта местности равна φ = 60°. Тогда радиус окружности, по которой вращается отвес, равен r = Rcosφ = 6400000·cos60° = 3200000 м. Центростремительное ускорение равно a = ω2r = (7,27·10–5)2 · 3200000 ≈ 0,0169 м/c2. Тогда ma = (1 кг)·(0,0169 м/c2) = 0,0169 Н. А величина FT = mg = (1 кг)·(9,8 м/c2) = 9,8 Н. Как видим, ma значительно меньше FT, поэтому угол α, который нить отвеса составляет с вертикалью, очень мал, и заметить отклонение от вертикали «на глазок» совершенно невозможно! А теоретически барон, как всегда, безусловно, прав! Проект 3. Из Москвы в Питер за полчаса Барон: Мой поезд доставит вас из Москвы в Санкт-Петербург за 42 минуты. И заметьте, никаких затрат энергии не потребуется! Профессор: Какая же сила будет разгонять ваш поезд, барон? Инженер: Поезд без двигателя? Не может быть! Бизнесмен: Неужели так быстро? Не верю! Какая сила разгонит поезд? Начнем с возражения Профессора. Ему непонятно, какая сила будет разгонять поезд, если у поезда нет двигателя. Чтобы разобраться с этим вопросом, рассмотрим рис. 3.1. Мы видим, что Москва (точка М) и Питер (точка П) соединены отрезком прямой МП. Проведем ось х в направлении от М к П. На поезд, находящийся в точке М, действует сила тяжести , направленная к центру Земли, и сила нормальной реакции , направленная перпендикулярно отрезку МП. Проекция силы  на ось х равна нулю, поэтому эта сила никак не повлияет на движение поезда, а вот проекция силы  на ось х — величина положительная: mgx > 0, поэтому сила тяжести будет сообщать поезду ускорение в направлении оси х, то есть от Москвы к Петербургу. Таким образом, разгонять поезд будет сила тяжести! Как будет двигаться поезд? По второму закону Ньютона mgx = max, следовательно, ускорение, с которым поезд будет двигаться в момент начала движения из Москвы, равно: ax = gx. Оценим величину этого ускорения. Радиус Земли равен: R = OM = 6400 км, расстояние от Москвы до Петербурга — примерно 600 км: МП = 600 км, следовательно, половина этого расстояния MO' = 300 км. Тогда Следовательно, всего через 100 с после начала движения поезд барона уже будет мчаться с весьма приличной скоростью 46 м/c! Правда в процессе движения величина силы тяжести будет изменяться, так как будет уменьшаться расстояние от поезда до центра Земли, но это изменение будет крайне незначительным. В самом деле, вычислим OO' — расстояние до центра Земли в самом глубоком месте тоннеля. По теореме Пифагора из треугольника MOO' находим: То есть максимальная глубина тоннеля равна hmax = OM – ОO' = 6400 км – 6392 км = 8 км. По сравнению с радиусом Земли это очень небольшая величина! Поэтому изменением величины силы тяжести во время движения поезда мы будем пренебрегать. Но вот изменением направления силы тяжести в процессе движения пренебрегать никак нельзя. Заметим, что до достижения поездом точки O' проекция силы тяжести на ось х — величина положительная, в точкеO' она обращается в нуль, в этой точке скорость поезда достигает своего максимального значения. На участке O'П проекция силы тяжести на ось х — величина отрицательная, поэтому поезд начинает замедляться и в точке П останавливается. Резонно спросить: а почему он остановится именно в точке П, а не где-нибудь в другом месте? Дело в том, что при отсутствии трения полная механическая энергия поезда должна сохраниться. Поскольку в точке Мравна нулю и потенциальная, и кинетическая энергия поезда, а в точке П потенциальная энергия тоже равна нулю (точки П и М находятся на одинаковом расстоянии от центра Земли), то и кинетическая энергия в точке П должна равняться нулю. А значит, именно в точке П поезд остановится сам безо всяких тормозов! Можно ли на самом деле обойтись без двигателя? Теоретически получается, что можно. И не только без двигателя, но и без тормозов. Но вот практически... Инженер, как человек, мыслящий практически, очень резонно возражает: «Не может быть поезда без двигателя!» И он совершенно прав, прежде всего, потому, что в реальном тоннеле обязательно будет иметь место трение. Даже если наш поезд будет на магнитной подвеске, а в тоннеле будет вакуум, на 100% трение мы устранить не сможем. Это, во-первых. А во-вторых, ведь возможны и внештатные ситуации, например, пожар! Значит нельзя исключить возможности экстренной остановки в середине тоннеля! Поэтому нужен и двигатель, и тормоза, причем очень мощные: скорость нашего поезда очень велика! Другое дело, что в штатном режиме и двигатель, и тормоза будут задействованы лишь на ничтожную долю процента от своих возможностей, а в идеале, как мы уже выяснили, они вообще не нужны. Так что экономия энергии, по сравнению с движением обычного экспресса «Москва—Санкт-Петербург», будет очень большой. Неужели поезд быстрее самолета? Самолет ТУ-154 летит от Москвы до Питера примерно 1 час. Барон обещает сократить время движения до 42 мин, что вызывает, мягко выражаясь, удивление у нашего Бизнесмена: представляется маловероятным, чтобы поезд обогнал самолет. Сделаем грубую оценку времени движения поезда, доступную для понимания даже учеников 9-го класса. Начнем с упрощающего предположения: будем считать, что поезд в тоннеле движется равноускоренно (на самом деле это не так!). В начале своего движения поезд имеет ускорение 0,46 м/c2, в середине пути ускорение равно нулю. Будем считать, что приблизительно такое движение можно считать равноускоренным с постоянным ускорением Тогда задача стоит так: тело начинает двигаться без начальной скорости с ускорением a = 0,23 м/c2 и проходит путь s = МО' = 300 км. Надо найти время движения. Воспользуемся известной кинематической формулой , отсюда Поскольку торможение будет происходить с таким же по модулю ускорением, то ясно, что на торможение до полной остановки потребуется такое же время, как и на разгон, — 27 минут. Значит, общее время движения составит: 27 + 27 = 54 минуты, что очень неплохо согласуется с тем, что говорил барон, — 42 минуты. Точный расчет, который мы здесь приводить не будем, показывает, что движение поезда в тоннеле очень близко к колебанию математического маятника и происходит практически по гармоническому закону, а период колебаний составляет 84 минуты. Время движения поезда из Москвы в Петербург как раз равно половине периода — 42 минуты, так что барон совершенно прав, а его проект с чисто теоретической точки зрения — просто замечательный! Ну, а скептические соображения по части его практической реализации вы наверняка сможете привести самостоятельно. Проект 4. На Луну в комфортных условиях Барон: В моем туристическом космическом корабле бизнес-класса вы не будете мучиться от невесомости: вы будете лететь с постоянной скоростью! Инженер: Странно... В межпланетном полете невесомость, по-моему, неизбежна. Профессор: Наверное, всё дело в двигателе... Бизнесмен: И сколько же времени займет такой полет? Невесомость Некоторые далекие от космонавтики люди считают, что невесомость — это легкое и приятное состояние, испытать которое — одно удовольствие. У космонавтов на сей счет другое мнение: невесомость — штука очень неприятная: человек, находящийся в состоянии невесомости, испытывает примерно такие же ощущения, как человек, провисевший минут пять на турнике вниз головой. А находиться в таком состоянии несколько часов и уж тем более суток под силу только очень здоровым и специально тренированным людям. Не случайно в космонавты отбирают только очень крепких физически людей. При длительном пребывании на орбите космонавтам необходимы постоянные тщательно разработанные физические упражнения. Если их не делать или делать недостаточно, то при возвращении на Землю космонавту может стать очень плохо. В первые годы освоения околоземного пространства, когда влияние невесомости на человеческий организм было еще недостаточно изучено, космонавты после двухнедельного полета чувствовали себя ужасно: они не могли ни стоять, ни сидеть, ни даже спать. Весь день они лежали во взвешенном состоянии в специальном бассейне с теплой водой — только в таком состоянии они чувствовали себя нормально. Даже просто лежать на очень мягком матрасе им было тяжело. На полное восстановление организма после полета уходило несколько месяцев. А теперь давайте разберемся, почему же в космическом полете возникает невесомость? Рассмотрим космонавта, находящегося в кабине космического корабля, который движется с выключенными двигателями недалеко от Земли (рис. 4.1). На космонавта действует сила тяжести , где  — ускорение свободного падения на высоте h. Предположим, что на космонавта еще действует сила реакции . Под действием этих двух сил  и  космонавт (вместе с кораблем) движется с ускорением , как и всякое свободно падающее тело. Тогда по второму закону Ньютона: То есть сила реакции опоры равна нулю, а значит, по третьему закону Ньютона равен нулю и вес космонавта. И, заметьте, наши рассуждения никак не зависят от направления и величины скорости спутника, поэтому космонавты, летящие в направлении Луны в корабле с выключенными двигателями, будут находиться именно в таком состоянии. Как избежать невесомости? Инженер убежден, что невесомость в космическом полете неизбежна. Так ли это? На самом деле невесомости легко избежать. Надо просто двигаться с постоянной скоростью относительно Земли, и всё! Тогда ситуация внутри корабля будет такая же, как в лифте, поднимающемся (опускающемся) с постоянной скоростью: вес будет равен силе тяжести. Правда, величина силы тяжести по мере удаления от Земли будет постепенно убывать, то есть все тела будут становиться всё менее и менее «весомыми». Каким же образом можно обеспечить равномерное движение ракеты? Тут наш Профессор не ошибся: дело, конечно, в двигателе. Всё очень просто: надо иметь постоянно работающий реактивный двигатель. Причем реактивная сила должна в точности равняться по величине результирующей силе гравитационного притяжения со стороны Земли и Луны, поэтому по мере удаления от Земли силу тяги надо постепенно уменьшать. Когда до Луны останется примерно одна десятая часть пути, двигатель можно на короткое время выключить, так как в этой точке сила земного тяготения уравновешивается силой лунного тяготения. На мгновение наступит невесомость. Но вскоре после этого лунное тяготение начнет преобладать над земным. Чтобы сохранить скорость постоянной, нужно будет развернуть ракету соплом к Луне и тормозить. Сила тяги должна быть равна силе притяжения Луны (за вычетом остатков земного тяготения). По мере приближения к Луне будет увеличиваться сила притяжения к Луне, а значит, придется увеличивать и силу тяги; все тела в корабле снова постепенно будут обретать вес. Вблизи поверхности Луны этот вес будет равен примерно одной шестой части земного веса. Итак, барон Мюнхаузен прав: полет до Луны можно осуществить с комфортом без больших перегрузок и почти без невесомости. Такие условия может выдержать любой нетренированный человек. Почему же современные корабли летают иначе? А именно: с сильной перегрузкой на активном участке полета (когда работают двигатели) и с полной невесомостью на орбите? Только из-за необходимости экономить топливо. Самый неэкономичный вариант движения к Луне — это движение с малой постоянной скоростью. Эту ситуацию можно вообще довести до абсурда: пусть ракета зависнет над Землей неподвижно: в этом случае расход топлива налицо, а продвижение к Луне — нуль! Наиболее экономичный способ полета — это пушечный выстрел: в этом случае вся энергия, запасенная в топливе, сразу передается кораблю, и не приходится тратить энергию на подъем над Землей еще не сгоревшего топлива. Но это другая крайность: при выстреле из пушки ускорение снаряда будет столь велико, что никакой космонавт, находящийся внутри, не сможет остаться живым. Сейчас в космонавтике применяется компромиссный вариант: на активном участке полета космонавт подвергается большим перегрузкам, но в пределах допустимых, а затем наступает невесомость до того момента, когда ракета начнет торможение. Оценим время полета Теперь остановимся на вопросе о времени полета, который так заинтересовал нашего Бизнесмена.Теоретически это время можно сделать почти любым: от нескольких секунд до нескольких лет. Всё зависит, с одной стороны, от возможностей ракетного двигателя, а с другой стороны, от предельно допустимых перегрузок космонавтов. Сделаем небольшой оценочный расчет для времени движения по маршруту «Земля—Луна» в комфортных условиях. Расстояние от Земли до Луны — примерно 384 400 км. Допустим, мы будем разгонять нашу ракету на старте с ускорением 4 м/c2 (это совсем небольшая перегрузка: вес каждого пассажира на старте увеличится всего на 40%). Тогда для разгона до скорости 10 км в секунду нам понадобится всего 42 минуты. Затем в течение примерно 9 часов последует полет с постоянной скоростью и еще примерно 40 мин на торможение с таким же ускорением (для более точного расчета надо еще учитывать скорость движения Луны по орбите вокруг Земли). Общее время на это увлекательное путешествие составит около 11 часов — примерно столько же, сколько требуется на беспосадочный перелет по маршруту «Москва — Владивосток» на самолете Ил-86! Проект 5. Скоростной спутник Земли Барон: Я берусь создать спутник, который будет вращаться вокруг Земли со скоростью 30 километров в секунду! И при этом невесомости в корабле не будет! Профессор: Но если скорость больше второй космической, спутник должен покинуть Землю навсегда! Инженер: Если на вашем корабле работает двигатель, то почему же скорость не увеличивается: Бизнесмен: А надолго ли хватит горючего? Первая космическая скорость Прежде чем приступить к обсуждению проекта барона, вспомним, что такое первая и вторая космические скорости. Для того чтобы заранее предвосхитить все возможные недоумения учащихся представим наши рассуждения в форме воображаемого диалога Автора с Читателем. Автор: Как вы считаете, можно ли неограниченно долго падать на Землю и при этом... не упасть на нее? Читатель: Думаю, нет. В конце концов, всё, что падает, упадет. Автор: А как же искусственные спутники Земли? Они ведь всё время находятся в свободном падении. Читатель: Спутники? Но они же вращаются вокруг Земли, а не падают на нее! Автор: Под падением я понимаю движение под действием одной-единственной силы — силы тяжести. А на спутник с выключенными двигателями никакие другие силы как раз и не действуют. Так что движение спутника — это типичное свободное падение. Читатель: Тогда я не понимаю, как же спутникам удается удержаться на орбите... Автор: Вас удивляет, что сила тяжести тянет спутник к центру Земли, а он движется по окружности? А посмотрите на шарик, который вращают на нити в горизонтальной плоскости (рис. 5.1): сила натяжения нити всё время направлена к центру окружности, а шарик движется по окружности. На спутник же вместо силы натяжения нити действует сила тяжести (рис. 5.2). Чтобы было понятнее, проведем такой мысленный эксперимент. Поднимемся на очень высокую башню — высотой километров эдак в сто (на этой высоте сила сопротивления воздуха уже практически отсутствует) — и будем бросать с башни камешки, как показано на рис. 5.3. Чем с большей скоростью мы бросим камешек, тем дальше упадет он от основания башни. Наконец, при какой-то определенной скорости он вообще не упадет на землю, а вернется к нам с противоположной стороны. Тут необходима осторожность: учитывая, что скорость такого камешка должна быть раз в 10 больше скорости артиллерийского снаряда, то последствия могут быть... сами понимаете. А скорость такого камешка как раз и называется первой космической. Сформулируем это четче. Первой космической скоростью называется скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли и двигалось по круговой орбите на небольшой по сравнению с радиусом Земли высоте. Давайте сразу и вычислим первую космическую скорость хI. Так как тело находится на небольшой высоте h << R, то ускорение свободного падения будем считать равным g = 9,8 м/с2. Единственная сила, которая действует на тело, движущееся по круговой орбите вокруг Земли — это сила тяжести . Она-то и сообщает телу центростремительное ускорение , где R — радиус Земли. По второму закону Ньютона: Подставим численные значения (R = 6,400·106 м, g = 9,8 м/с2), получим: Запомним: первая космическая скорость хI = 7,9 км/с. Заметим, что по формуле (5.1) можно вычислить первую космическую скорость не только для Земли, но и для любой другой планеты. Читатель: А если камешку на рис. 5.3 сообщить скорость х > 7,9 км/с? Автор: При скорости, большей первой космической, траектория камешка (или космической станции) из окружности превратится в эллипс, который по мере увеличения скорости будет становиться всё более вытянутым (рис. 5.4). Наконец, при скорости х = 11,2 км/с, которую называют второй космической, траектория тела из эллипса превратится в параболу и тело навсегда покинет пределы земного тяготения. Идея скоростного спутника Теперь об идее барона. Скорость, с которой его спутник вращается вокруг Земли — 30 км/c — значительно больше первой космической скорости, которая, как мы с вами выяснили, составляет всего 7,9 км/c! Но у спутника барона, как видно из рисунка на плакате, имеется двигатель, который выбрасывает реактивную струю в направлении от центра орбиты! Этот двигатель создает дополнительную силу, которая теперь вместе с силой тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение. Иными словами, центростремительная сила увеличилась на величину силы тяги реактивного двигателя, а, значит, увеличилось и центростремительное ускорение. Теперь второй закон Ньютона для спутника будет иметь вид: где f — реактивная сила, х — скорость спутника, R — радиус орбиты, m — масса спутника, а g — ускорение свободного падения (рис. 5.5). Из формулы (5.2) ясно, что, увеличивая реактивную силу f, мы можем увеличивать скорость вращения спутника х. Теоретически нам никто не мешает сделать реактивную силу сколь угодно большой, а значит и скорость обращения спутника можно теоретическинеограниченно увеличивать вплоть до скорости света. Проблемы начинаются там, где мы от теории переходим к практике. Сначала ответим на возражение Профессора. Он опасается, что, поскольку скорость спутника превышает не только первую, но и вторую космическую, то наш спутник удалится от Земли на бесконечное расстояние. Профессор просто забыл, что это справедливо только для небесного тела — то есть спутника, не имеющего никаких двигателей. Наличие двигателя всё принципиально меняет. С двигателем можно улететь с Земли с любой, даже очень маленькой скоростью (если не жалко горючего), а можно и не улететь от нее далеко, двигаясь очень быстро! Так что возражение Профессора мы не принимаем. Теперь остановимся на возражении Инженера: почему не увеличивается скорость, если работает двигатель? То есть почему не увеличивается скорость, если на спутник действует сила? Тут уместен контрвопрос: а почему не увеличивается скорость спутника, который движется вокруг Земли по круговой орбите с первой космической скоростью (см. рис. 5.2)? На него ведь тоже действует сила тяготения. А почему не увеличивается скорость шарика, который мы раскручиваем на веревке (см. рис. 5.1)? На него ведь тоже действует сила натяжения нити! Дело в том, что все эти силы направлены перпендикулярно к направлению скорости, поэтому они не совершают механической работы: угол, который составляет каждая из этих сил с вектором малого перемещения, равен 90°, поэтому работа всех этих сил равна: А = F·Δs·cos90° = 0. И все эти силы «занимаются» не увеличением величины скорости тела, а изменением направления скорости. Можно спросить: на что же тогда тратится энергия топлива, ведь она же не может исчезнуть? Увы, она тратится довольно расточительно — на увеличение внутренней энергии продуктов сгорания топлива. Самый неприятный для барона вопрос задал Бизнесмен: «А сколько потребуется горючего?» Не будем огорчать барона: очень много, лучше даже не рассчитывать, чтобы не расстраиваться. Двигатель должен работать на полную мощность постоянно, а ведь топливо еще надо доставить на орбиту! Правда, барон ничего не сказал о конструкции своего двигателя. Может быть, он уже научился черпать энергию «из физического вакуума», как предлагают некоторые современные изобретатели? Тогда другое дело! Лучше сделаем другую оценку. Вычислим, какую перегрузку будет испытывать барон, если он окажется внутри собственного спутника. То есть вычислим, во сколько раз вес барона в спутнике будет больше его веса на Земле. Заметим, что в спутнике барона невесомости нет — что, конечно, хорошо, если вес не слишком велик, и очень плохо, если вес становится слишком большим! Итак, пусть наш барон имеет массу 100 кг и движется в своем спутнике по орбите радиусом 6400 км, то есть на околоземной орбите. Тогда ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2 (рис. 5.6). Скорость спутника v = 30 км/с. На барона действуют две силы: сила реакции со стороны пола и сила тяготения. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление нормали : , отсюда: Ясно, что по третьему закону Ньютона с точно такой же по величине силой барон будет давить на пол: Р = N = 1300 кгс. В то же время на Земле вес барона, имеющего массу 100 кг, равен 100 кгс. Таким образом, вес барона в спутнике увеличится в 13 раз! В истории космонавтики были случаи, когда в течение нескольких секунд космонавты выдерживали подобные перегрузки и при этом оставались живы. Но наш барон человек исключительной физической силы, поэтому, возможно, он выдержит несколько минут такого полета. Хотя, честно говоря, лучше бы сбросить скорость хотя бы до 20 километров в секунду: амбиции амбициями, а жизнь всё-таки дороже! Проект 6. Перевернутый небоскреб Барон: В моем перевернутом небоскребе чем ближе к центру Земли, тем меньше вес. А в центре Земли — вообще невесомость, потому что жилец, находящийся в центре Земли, будет притягиваться во все стороны одинаково! Профессор: Я боюсь, что в центре Земли никакой невесомости не будет. Наоборот, тела будут иметь бесконечно большой вес. Бизнесмен: Я точно знаю, что по мере спуска под землю вес тел увеличивается. Инженер: Сколько же времени понадобится, чтобы спуститься на нижний этаж? Почему в центре Земли тела невесомы? Прежде всего, попытаемся понять идею барона: он утверждает, что в центре Земли жилец будет притягиваться во все стороны одинаково, и поэтому будет находиться в состоянии невесомости. Чтобы эта мысль была более понятной, рассмотрим ситуацию, когда точечная масса mнаходится в центре кольца, состоящего из большого числа точечных масс M (рис. 6.1). Ясно, что каждые две противоположно лежащие массы M тянут жильца в противоположные стороны с одинаковыми по величине силами . Поэтому равнодействующая всех сил, приложенных к точечной массе m, равна нулю. В аналогичной ситуации будет жилец, находящийся в центре Земли. Почему же Профессор опасается, что вес жильца в центре Земли будет бесконечно большим? Он просто вспомнил формулу закона всемирного тяготения из школьного учебника: , где m и M — массы тел, а R — расстояние между ними. Он решил, что поскольку в центре Земли расстояние между жильцом и Землей равно нулю, то получается, что  Профессор забыл, что закон всемирного тяготения  справедлив только для точечных масс, то есть тел, размерами которых в условиях данной задачи можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними. Такое приближение, например, вполне допустимо при расчетах движения планет вокруг Солнца, но в условиях нашей задачи считать Землю точечной массой, конечно же, нельзя! Как будет изменяться вес тела по мере приближения к центру Земли? Бизнесмен утверждает, что по мере погружения вглубь Земли вес тела будет возрастать, а барон, напротив, судя по приведенному на плакате рисунку, полагает, что чем глубже под землей находится жилец, тем меньше он весит. Кто же из них прав? Правы оба! Действительно, при погружении на глубину до 2000 км, вес тела возрастает, при дальнейшем погружении — убывает, и в центре Земли становится равным нулю! Разберемся с этим вопросом подробнее. Какой вес имеет тело, находящееся внутри сферической оболочки? Пусть точечная масса m находится в точке O' внутри сферической оболочки радиусом R (рис. 6.2) и пусть масса единицы площади поверхности сферы равна ρ. Докажем, что равнодействующая всех гравитационных сил, действующих на точечную массу m со стороны сферы, равна нулю. 1. Построим две узких конических поверхности с малым углом раствора α и с общей вершиной в точке O', как показано на рис. 6.3. Эти конические поверхности «вырежут» на сфере кусочки поверхности, которые можно приближенно считать плоскими, что вполне допустимо, если угол α очень мал. 2. Площади вырезанных на сфере «кусочков» S1 и S2 пропорциональны квадратам их «диаметров» — отрезков AB и CD. Пусть AB = k·CD, тогда S1 = k2·S2, для масс вырезанных кусочков действует то же самое соотношение: m1 = k2·m2 3. Рассмотрим углы ABC и ADC. Они равны, как вписанные в окружность и опирающиеся на общую дугуАС, поэтому обозначим их одной буквой φ. 4. Два угла (α и φ) треугольника O'AB равны двум углам треугольника O'DC , следовательно, эти треугольники подобны. Из подобия треугольников следует, что если R1, R2 — расстояния от тела до центров масс соответствующих кусочков сферы, то R1 = k·R2. 5. Найдем соотношение сил, действующих на тело массой m, находящееся в точке O', со стороны тел массами m1 и m2, которые можно считать точечными (поскольку их размеры очень малы). То есть F1 = F2, а значит, равнодействующая этих сил равна нулю. 6. Но ведь всю поверхность сферы можно разбить на такие пары противоположно лежащих «кусочков», и каждая такая пара даст равнодействующую, равную нулю. Это значит, что суммарная сила, действующая со стороны сферы на точечную массу m, равна нулю. То есть сфера вообще не действует на точечную массу, расположенную внутри нее, в каком бы месте эта точечная масса ни находилась (совершенно необязательно, чтобы она находилась в центре сферы!). Какой вес имеет тело, находящееся внутри шарового слоя? Теперь от тонкой сферы перейдем к шаровому слою конечной толщины. Пусть точечная масса m теперь находится внутри шарового слоя (рис 6.4). Ясно, что шаровой слой конечной толщины можно разбить на множество очень тонких концентрических шаровых слоев очень малой толщины — практически сфер. А каждая такая сфера, как мы только что выяснили, не оказывает воздействия на расположенную внутри нее точечную массу. Стало быть, и шаровой слой никак не будет действовать на точечную массу, находящуюся внутри него. Точечная масса внутри однородного шара А теперь перейдем к более сложному случаю: пусть точечная масса mнаходится внутри однородного шара радиусом R и плотностью ρ на расстоянии r от центра шара (рис. 6.5). Внешняя для точечной массы часть шара — наружный шаровой слой, — как мы только что доказали, на точечную массу действовать не будет, а внутренняя часть большого шара (малый шар радиусом r) будет притягивать нашу точечную массу с силой , где М =  — масса малого шара. Подставляя значение М в формулу для F, получим: То есть сила тяжести прямо пропорциональна расстоянию до центра шара. Ясно, что если r = 0, то F = 0. Значит, если бы Земля была однородным шаром, то вес тела действительно постепенно уменьшался с глубиной, и барон Мюнхаузен был бы абсолютно прав. Но на самом деле Земля не является однородным шаром: ее плотность с глубиной изменяется — а именно, увеличивается. При погружении в шахту на величину силы тяжести оказывают действие два фактора: с одной стороны, уменьшается расстояние до центра Земли, поэтому сила тяготения увеличивается: а с другой стороны, уменьшается масса «малого» шара, находящегося под погружаемым телом: Вопрос в том, какой фактор окажет большее влияние на величину силы тяжести. Разберем два крайних случая. 1. Пусть шаровой слой над точечной массой m (см. рис. 6.5) имеет ничтожно малую плотность (ρ → 0), тогда масса «малого» шара радиусом r точно такая же, как и масса «большого» шара радиусом R. Тогда сила тяжести на расстоянии r < R от центра будет явно больше силы тяжести на расстоянии R от центра. То есть в этом случае при погружении в шахту сила тяжести будет возрастать. 2. Пусть нулевую плотность имеет «малый» шар (см. рис. 6.5), то есть вся масса сосредоточена в шаровом слое над точечной массой m. Тогда уже на расстоянии r от центра сила тяжести будет равна нулю: Это значит, что при погружении на глубину (R – r) величина сила тяжести уменьшилась от своего максимального значения до нуля. Как мы уже говорили, Земля представляет собой неоднородный шар, причем плотность верхних слоев значительно меньше, чем плотность внутренних слоев. Поэтому при погружении под землю примерно до глубины 2000 км преобладает первый эффект — сила тяжести возрастает: , а потом сила тяжести начинает убывать — преобладает эффект убывания массы «малого» шара. Сколько времени займет спуск до нижнего этажа? Теперь ответим нашему Инженеру, которого интересует прежде всего практическая целесообразность проекта: как долго жилец перевернутого небоскреба будет спускаться до своей квартиры, если он живет в самом центре Земли? Допустим, что лифт будет сначала разгоняться до какой-то очень приличной скорости (скажем, 1 км/c), потом будет какое-то время двигаться с этой скоростью, а в конце пути тормозить. Тогда для того, чтобы спуститься до центра Земли, потребуется время (это без учета разгона и торможения!) Терпимо, конечно, но всё-таки довольно долго! Гораздо эффективнее было бы предоставить лифту возможность свободно падать на первой половине пути, а на второй — тормозить с таким же по величине ускорением. Сделаем грубую оценку времени спуска до центра Земли в этом случае. Будем считать, что среднее ускорение на участке от поверхности до глубины 3200 км равно 10 м/c2. Тогда время, за которое лифт преодолеет этот участок пути, равно Ясно, что такое же время потребуется на торможение. Всего, стало быть, 800 + 800 = 1600 с ≈ 27 минут. Это уже вполне приемлемо! Правда, при таком режиме движения первую половину пути пассажиры будут находиться в невесомости, а на второй половине они будут испытывать небольшие перегрузки. Но если в этом доме предполагается поселить, главным образом, космонавтов, то подобные ежедневные тренировки пойдут им только на пользу! В заключение отметим еще одну трудность практической реализации проекта: дом должен быть абсолютно герметичным, во-первых, и очень прочным, во-вторых, так как атмосферное давление в центре Земли будет просто чудовищным! Прикинем, каким будет давление воздуха в шахте глубиной «всего лишь» 100 км. (Заметим, что самые глубокие современные скважины не превышают пока 12 км.) Будем исходить из того, что на поверхности Земли атмосферное давление равно 100 000 Па, а плотность воздуха равна 1,29 кг/м3 и не меняется с глубиной (на самом деле, плотность с глубиной, конечно, возрастает, поэтому наша оценка будет заниженной). Тогда искомое давление будет равно: p = pa + ρgh ≈ 100000 Па + 1,29 кг/м3·9,8 м/c2·100000 м = = 1364200 Па ≈ 13,6 атм. Такое же давление под водой на глубине 136 м! А ведь речь пока идет только о глубине в 100 км, а центр Земли находится на глубине 6400 км! О трудностях, связанных с тем, что глубоко под Землей, мягко скажем, жарковато, мы распространяться не будем. Возможно, кто-то предложит принцип охлаждения перевернутого небоскреба? Проект 7. Супернебоскреб Барон: В моем доме можно выбирать этаж с такой силой тяжести, какая вам больше по вкусу! При желании можно выбрать этаж с полной невесомостью, а можно и с отрицательным весом. Бизнесмен: Отлично! В таком доме можно будет тренировать космонавтов! Профессор: Вы расчитываете на центробежный эффект? Инженер: Боюсь, что на верхних этажах жильцам нечем будет дышать! Давайте начнем с того, что вычислим, на какой высоте жильцы супернебоскреба будут находиться в невесомости. Поскольку Земля вращается вокруг своей оси с периодом Т = 24 ч, ее угловая скорость равна Ясно, что с такой же угловой скоростью вращается и жилец супернебоскреба. А значит, он движется с центростремительным ускорением, равным по величине: a = ω2(R + h), где R — радиус земли, а h — высота над поверхностью Земли. На жильца массой m, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, действуют, вообще говоря, две силы: сила тяготения, где R — радиус Земли, а M — масса Земли (рис. 7.1), и сила нормальной реакции N. Равнодействующая этих сил и сообщает жильцу центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона можем записать: Из формулы (7.1) видно, что N всегда меньше Fт, и чем больше h, тем меньше N. В условиях невесомостиN = 0, тогда Подставим численные значения: М = 6,0·1024 кг, G = 6,67·1011 (H·м2/кг2), ω ≈ 7,27·10–5 рад/c. Получим:  = 35906076 м ≈ 35,9·103 км. Как видим, высота, на которой достигается невесомость, примерно в 6 раз больше радиуса Земли, но ничего: уж если строиться — так строиться с размахом! Главное, чисто теоретически барон прав: в супернебоскребе можно действительно выбрать себе для проживания этаж, на котором всегда существует невесомость! Если подняться на высоту, большую, чем 35,9 тысяч километров, то сила нормальной реакции, рассчитанная по формуле (7.1), станет отрицательной величиной. Это значит, что для того, чтобы сообщить жильцу центростремительное ускорение, силы тяготения будет уже недостаточно и силе нормальной реакции придется ей «помогать» (рис. 7.2). При этом «верх» и «низ» для жильца как бы поменяются местами: он сможет спокойно стоять на потолке, на потолок нужно будет поставить и всю необходимую мебель. Профессор в данном случае прав: речь идет именно о центробежном эффекте: во вращающейся системе отсчета (на карусели, например) все тела как бы отбрасываются от центра к периферии. Абсолютно прав и Инженер: верхние этажи здания находятся в открытом космосе, поэтому, если супернебоскреб не будет абсолютно герметичным, жильцы на верхних этажах погибнут от полного отсутствия воздуха. Причем герметичным надо сделать не только весь небоскреб, но желательно и каждый этаж в отдельности. Прав и Бизнесмен: в таком доме отличные условия для тренировки космонавтов! Проект 8. Запуск спутника на орбиту без затрат энергии Барон: Мы строим на экватореочень высокую башню, вдоль которой натягиваем очень прочную цепь. К верхнему концу цепи прикрепляем очень тяжелый (несколько тонн) стальной шар, а к нижнему — спутник, который надо вывести на орбиту. Из-за центробежного эффекта шар будет сам подниматься вверх и поднимать наш корабль без малейших затрат энергии! Как только наш спутник поднимется достаточно высоко, мы открепляем его от цепи и легким толчком превращаем в искусственный спутник Земли! Инженер: И какой же высоты должна быть ваша башня? Бизнесмен: Значит, ракеты-носители больше не нужны? Сколько денег мы сэкономим! Профессор: Похоже, барон, что вы предлагаете создать вечный двигатель... Но ведь это невозможно! Вернемся на время к проекту №7 «Супернебоскреб». Представим себе, что мы находимся в нашем супернебоскребе на высоте h > 35,9·103 км над поверхностью Земли, то есть стоим на потолке вниз головой. Ясно, что на тот же потолок мы можем без проблем положить тот самый массивный шар, о котором говорит барон. Если мы теперь привяжем этот шар легким и прочным тросом к полу, то трос будет натянут (рис. 8.1). То есть шар будет иметь «желание» упасть на потолок, на котором мы стоим. Если мы теперь выбросим конец троса в окно так, чтобы его нижний конец достал до земли и у самой земли закрепим конец троса, то шар натянет весь трос (если, конечно, масса троса значительно меньше массы шара). Теперь привяжем к нижнему концу троса спутник, который мы собираемся вывести на орбиту, а потолок, на котором стоит шар, аккуратно раздвинем. Тогда шар начнет сам (!) подниматься вверх, увлекая за собой привязанный внизу спутник. И, заметьте, никакой энергии к нашему шару со стороны мы вроде бы не подводим! Подождем, когда наш спутник поднимется на высоту h = 35,9·103 км (именно на этой высоте тела находятся в невесомости), остановим его, отсоединим от троса и... легким толчком аккуратно вытолкнем в окно. И наш спутник сразу же станет реальным спутником Земли, который движется по так называемой геостационарной орбите: он совершает вращение вокруг центра Земли с периодом обращения 24 ч и при этом всё время как бы «висит» над одной и той же точкой земной поверхности. Заметим, что с точки зрения физики этот спутник ничем не будет отличаться от жильца, который будет висеть между полом и потолком в своей квартире, расположенной на высоте h = 35,9·103 км над поверхностью Земли! Так что теоретически замысел барона совершенно правильный. Теперь ответим на вопросы его оппонентов. Инженер интересуется, какой высоты должна быть наша башня. Ясно, что значительно выше 35,9·103 км. Причем чем выше — тем лучше. Ведь чем больше расстояние от шара до центра Земли, тем сильнее центробежный эффект! Бизнесмен весьма оптимистически надеется, что данная башня позволит сэкономить кучу денег на запуске космических ракет. Он, безусловно, прав, но с одной маленькой оговоркой: экономия начнется после того, как башня будет построена, а до того — одни сплошные расходы. Есть основания полагать, что подобное строительство — довольно затратное мероприятие. Самое серьезное возражение высказал Профессор: он полагает, что предложенный проект — это проект очередного вечного двигателя, который производит работу, не потребляя никакой энергии. А сам факт существования вечного двигателя противоречит закону сохранения энергии! Профессор прав: вечный двигатель в принципе невозможен, но предложенная модель — это не вечный двигатель. На самом деле подъем шара вверх за счет центробежного эффекта происходит за счет энергии вращения Земли. То есть чем выше будет подниматься шар по нашей башне, тем медленнее будет вращаться Земля вокруг своей оси! Докажем это. Заметим, что линейная скорость шара относительно центра Земли по мере его удаления от центра Земли возрастает: х = ωr (рис. 8.2). Поэтому на шар со стороны стенки башни должна действовать сила , которая увеличивает ее линейную скорость (рис. 8.3). По третьему закону Ньютона шар должен действовать на стенку башни с равной и противоположной силой . Эта сила  как раз и замедляет вращение Земли. Но, конечно же, это замедление будет настолько ничтожным, что вряд ли оно всерьез помешает процветанию человечества! Проект 9. Раскрутим Землю Барон: Я предлагаю уменьшить вес всех тел на Земле. Для этого надо всего лишь увеличить скорость вращения Земли вокруг своей оси. При желании можно добиться того, что все тела на экваторе будут невесомы! Профессор: разве сила тяготения зависит от того, вращается Земля или нет? Бизнесмен: И какой же продолжительности будут сутки на Земле, когда тела на экваторе будут невесомы? Инженер: А сколько энергии нам понадобится на «раскрутку»? 1. Начнем с утверждения барона. Он утверждает, что если увеличить скорость вращения Земли вокруг своей оси, то вес всех тел на Земле уменьшится. Более того, он считает, что при желании можно добиться того, что все тела на экваторе вообще будут невесомы! Возникает естественный вопрос: а с чего он это взял? И вполне разумно, на первый взгляд, звучит недоуменная реплика Профессора: «Разве сила тяготения зависит от того, вращается Земля или нет?» 2. Профессор, конечно же, прав: сила тяготения не зависит от скорости вращения Земли! Но возражение это — не по существу вопроса! Ведь барон про силу тяготения как раз ничего не говорит, он говорит про изменение веса! А это не одно и то же! 3. Простейший пример доказывает, что сила тяготения и вес тела необязательно равны по величине. Рассмотрим лифт, который движется с ускорением , направленным вертикально вниз (рис. 9.1). Пусть на полу этого лифта лежит тело массой m. Тогда на тело действуют две силы: сила нормальной реакции  и сила тяжести . Их равнодействующая сообщает телу ускорение . По второму закону Ньютона справедливо: , или в скалярной форме: mg – N = ma  N = mg – ma = m(g – a). Вес — это сила, с которой тело действует на пол лифта. По третьему закону Ньютона . Следовательно, по величине вес тела равен P = m(g – a) < mg! То есть весменьше силы тяжести, а если a = g, то вес равен нулю: P = m(g – g) = 0. Итак, вес, вообще говоря, «не обязан» быть равным силе тяжести. 4. Рассмотрим тело, неподвижно лежащее на одном из полюсов Земли, например, на Северном. На тело действуют две силы: сила нормальной реакции  и сила тяжести  (рис. 9.2). Поскольку ускорение тела в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли, равно нулю, то  +   = 0  P = N = Fт. Поскольку по третьему закону Ньютона , то P = N = Fт. И вес при этом никак не зависит от скорости вращения Земли! Так что в этом пункте мы уже можем поправить барона: как бы быстро ни вращалась Земля, вес тела на полюсе всегда будет оставаться постоянной величиной, равной силе тяжести. 5. Прежде чем мы пойдем в наших рассуждениях дальше, остановимся на одном, казалось бы, очень простом вопросе: что такое ? Согласно закону всемирного тяготения на тело массой m, находящееся на поверхности Земли, действует сила тяготения , где М — масса Земли, а R — ее радиус. Введем обозначение:  Величина g0 имеет двоякий смысл: с одной стороны, эта величина равна силе, с которой Земля действует наединичную массу, а значит, ее можно измерять в Н/кг: g0 = 9,83 Н/кг. Тогда величину g0 можно (по аналогии с напряженностью электростатического поля) называть напряженностью гравитационного поляЗемли. А с другой стороны, по второму закону Ньютона , значит, величину g0 можно измерять как ускорение в м/c2, а физический смысл этой величины — ускорение, с которым будет двигаться тело под действием только силы тяжести в инерциальной системе отсчета: g0 = 9,83 м/c2. 6. Если считать Землю шаром идеально правильной формы, то в любой точке земной поверхности на тело массой m будет действовать одинаковая по величине сила тяготения Fт = mg0, направленная к центру Земли. 7. Теперь рассмотрим тело массой m, неподвижно лежащее на экваторе Земли (рис. 9.3). Поскольку Земля вращается с периодом Т = 24 ч, то наше тело движется по окружности с радиусом, равным радиусу Земли: R = 6400 км. При этом угловая скорость вращения равна а центростремительное ускорение тела равно Это ускорение сообщает нашему телу равнодействующая двух сил: силы нормальной реакции  и силы тяготения . Согласно второму закону Ньютона справедливо Поскольку вес тела по третьему закону Ньютона равен , то Р = N = m(g0 – ω2R) < mg0. То есть на экваторе даже идеально шарообразной Земли вес меньше силы тяжести на величину mω2R, причем разница эта будет тем больше, чем больше ω. Поэтому с чисто теоретической точки зрения замысел барона раскрутить Землю, чтобы уменьшить вес тел, находящихся на экваторе — вполне разумный! 8. Резонно спросить, а чему равно ускорение свободного падения на экваторе? На экваторе свободно падающее тело будет двигаться так, как если бы на него действовала сила тяжести Fт = m(g0 – ω2R), а значит, ускорение свободного падения будет равно g =  = g0 – ω2R = 9,83 м/c2 – 0,0338 м/c2 ≈ 9,79 м/c2. То есть из-за вращения Земли ускорение свободного падения на экваторе меньше чем на полюсе. 9. Теперь ответим на вопрос Бизнесмена: какой продолжительности будут сутки на Земле, если тела на экваторе будут невесомы? Из формулы (9.1) следует, что для того, чтобы вес тела на экваторе стал равным нулю, необходимо, чтобы выполнялось равенство: Тогда продолжительность суток будет равна Ясно, что это уж очень мало. Вряд ли на такое согласятся экологи и уж тем более Совет Безопасности ООН! Но предположим невероятное: все жители Земли единодушно согласились претворить замысел барона в жизнь. Тогда актуальным станет вопрос Инженера: сколько же энергии на это потребуется? Из теории вращательного движения известно, что однородный шар массой М и радиусом R, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью ω, обладает кинетической энергией . На этом позвольте остановиться. Постарайтесь оценить: 1. Какой энергией обладает Земля в настоящее время в силу своего вращения? 2. Какой энергией она будет обладать, если осуществить замысел барона? 3. Сколько лет должны работать все электростанции Земли, чтобы выработать энергию, необходимую для реализации данного проекта? Для справки: масса Земли равна примерно 6,0·1024 кг. Автор: Евгений Филатов. Художник:Татьяна Делягина